高数01-函数

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学习高数不需要完全懂。当做马上考试，前半小时的时间，去学习。

1. 函数

任何一个函数，都由这三个部分牢牢锁定，缺一不可：

  1. 定义域 (Domain)
  2. 对应法则 (Correspondence Rule)
  3. 值域 (Range)

在数学中有一个约定俗成的规矩：如果没有人为指定定义域，那么定义域就是能让这个算式有意义的所有实数的集合。 这被称为 “自然定义域“。

1.1 定义域

求函数 y = 1 / √(x + 2) 的定义域。

  • x+2 >= 0
  • x+2 != 0
  • 定义域是 （-2，正无穷）

1.2 函数的关键特性

  • 奇偶性 (Parity): 函数的图像是否对称？它是 “ 偶函数 “（像 y=x²，图像关于 y 轴对称），还是 “ 奇函数 “（像 y=x³，图像关于原点对称）？这能帮我们快速把握函数的整体形态。
  • 单调性 (Monotonicity): 函数在它的定义域内，是 “ 一路向上 “（增函数），还是 “ 一路向下 “（减函数），或者是有增有减？这描述了函数的 “ 走势 “。
  • 周期性 (Periodicity): 函数的行为是否会一遍遍地重复？（比如三角函数 y=sin(x)）
  • 有界性 (Boundedness): 函数的值会不会被限制在一个范围内，永远飞不出一个 “ 天花板 “ 或跌不破一个 “ 地板 “？

1.3 如何判断奇偶性？

一个函数能谈论奇偶性的必要条件是，它的定义域必须关于原点对称。例如 (-5, 5), [-10, 10], (-∞, +∞) 都是对称的。而像 [0, 5) 或者 (-1, 2) 这种不对称的定义域，其上的函数一定是非奇非偶函数，直接下结论即可，无需后续步骤！

  1. 第一步：检查定义域。看它是否关于原点对称。如果不是，直接宣布 “ 非奇非偶 “，任务结束。
  2. 第二步：计算 f(-x)。将函数表达式中所有的 x 都换成 (-x)，然后化简得到的结果。
  3. 第三步：比对结果。
  • 如果化简后的 f(-x) 和原来的 f(x) 一模一样，即 f(-x) = f(x)，则为偶函数。
  • 如果化简后的 f(-x) 和原来的 f(x) 每一项都正好差个负号，即 f(-x) = -f(x)，则为奇函数
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# 实战演练：判断函数 `f(x) = x² - 4` 的奇偶性。

1. 定义域: `f(x)` 是一个多项式函数，其定义域为 `(-∞, +∞)`，关于原点对称。可以继续！
2. 计算 `f(-x)`:
    `f(-x) = (-x)² - 4`  
    `= x² - 4`
3. 比对结果:  
    我们发现，计算出的 `f(-x) = x² - 4`，这和原来的 `f(x) = x² - 4` 完全一样。  
    即 `f(-x) = f(x)`。

结论：`f(x) = x² - 4` 是一个偶函数。** 它的图像是一条开口向上，顶点在(0, -4)的抛物线，显然是关于Y轴对称的。

1.4 函数的最值 (Maximum/Minimum Value)

一个闭区间 [a, b] 上，连续函数的最大值和最小值一定存在。它们只可能在两个地方出现：

  1. 区间的端点： 即 f(a) 和 f(b)。
  2. 区间内部的 “ 拐点 “： 即函数单调性发生改变的点（从增到减形成 “ 山顶 “，或从减到增形成 “ 谷底 “）。
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实战演练：求函数 `f(x) = x² - 4x + 3` 在区间 `[1, 5]` 上的最大值和最小值。

1. 分析单调性： 
    这是一个二次函数，我们可以通过**配方法**找到它的对称轴（也就是拐点）。  
    `f(x) = x² - 4x + 4 - 4 + 3`  
    `f(x) = (x - 2)² - 1`  
    这是一个开口向上，对称轴为 `x = 2` 的抛物线。  
    所以，函数在 `x=2` 处取得“谷底”。
    
    - 在 `(-∞, 2]` 上单调递减。
    - 在 `[2, +∞)` 上单调递增。
    
    
2. 找到“嫌疑犯”：
    我们的研究区间是 `[1, 5]`。
    
    - 左端点：`x = 1`
    - 右端点：`x = 5`
    - 区间内的拐点：`x = 2` （正好在 `[1, 5]` 区间内部！）
3. 计算并比较：
    
    - `f(1) = (1 - 2)² - 1 = 1 - 1 = 0`
    - `f(5) = (5 - 2)² - 1 = 9 - 1 = 8`
    - `f(2) = (2 - 2)² - 1 = 0 - 1 = -1`
    
    比较这三个值 `0`, `8`, `-1`：
    
    - 最大的是 `8`。
    - 最小的是 `-1`。

1.5 配方法

“ 配方法 “ 是一种代数技巧，它的目标非常明确：创造出一个完全平方三项式。

什么是 “ 完全平方三项式 “？就是可以写成 (A + B)² 或 (A - B)² 形式的多项式。

  • (x + 3)² = x² + 6x + 9
  • (x - 5)² = x² - 10x + 25

你发现规律了吗？常数项（9, 25）正好是 x 项系数（6, -10）的一半的平方。

  • 9 = (6 / 2)²
  • 25 = (-10 / 2)²

配方法的精髓： 对于 x² + bx，我们给它配上一个 (b/2)²，它就能变成一个完美的 (x + b/2)²。

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g(x) = -x² + 6x
g(x) = -(x² - 6x)
g(x) = -（x² - 6x + 9 - 9）
g(x) = -（(x-3)² - 9）
g(x) = -(x-3)² + 9

拐点是 3

1     5
4     -16 + 24 = 8
3      -9 + 18 = 9

最大值是 9
最小值是 5

1.6 平移法则 —— “ 左加右减，上加下减 “

这是图像平移中最最核心、最最重要的法则，一定要记牢！

假设我们有一个基础函数 y = f(x)。

  • 上下平移（改变 y）：

    • y = f(x) + c (c>0): 图像向上平移 c 个单位。
    • y = f(x) - c (c>0): 图像向下平移 c 个单位。
    • 记忆口诀：上加下减，简单直接。

  • 左右平移（改变 x）：

    • y = f(x - c) (c>0): 图像向右平移 c 个单位。
    • y = f(x + c) (c>0): 图像向左平移 c 个单位。
    • 记忆口诀：左加右减，符号相反。 (注意！这里是反直觉的，x 旁边的 + 号代表向左，- 号代表向右，要特别小心！)

1.7 改变函数的伸缩与翻转法则

这里的关键是看那个改变的数字是作用在函数外部 (y)，还是作用在函数内部 (x)。

1. 改变函数外部：y = a * f(x) (影响垂直方向)

  • 垂直伸缩 (Vertical Stretch/Compression):
    • a > 1：图像沿 y 轴方向被拉长为原来的 a 倍 (变瘦)。例如 y = 2x²。
    • 0 < a < 1：图像沿 y 轴方向被压缩为原来的 a 倍 (变胖)。例如 y = 0.5x²。
  • 关于 x 轴翻转 (Reflection across x-axis):
    • a = -1：y = -f(x)，图像关于 x 轴上下翻转。例如 y = -x²。
    • 如果 a 是负数（如 -2），则可以看作是先拉长 2 倍，再上下翻转。

2. 改变函数内部：y = f(b * x) (影响水平方向，同样反直觉！)

  • 水平伸缩 (Horizontal Stretch/Compression):
    • b > 1：图像沿 x 轴方向被压缩为原来的 1/b 倍 (变窄)。例如 y = sin(2x) 的周期是 sin(x) 的一半。
    • 0 < b < 1：图像沿 x 轴方向被拉长为原来的 1/b 倍 (变宽)。例如 y = sin(0.5x) 的周期是 sin(x) 的两倍。
  • 关于 y 轴翻转 (Reflection across y-axis):
    • b = -1：y = f(-x)，图像关于 y 轴左右翻转。例如 y = (-x)³ 就是 y = x³ 关于 y 轴的翻转。

1. 导数

  • tan 函数
  • 点是直线的斜率

2. 计算

2.1 公式

2.2 法则

符合函数求导：链式法则：一定是从外到内。

3. 意义

3.1 单调性

导数>0，原函数单调递增，导数<0，原函数单调递减。

3.2 极大值点

极大值点，是 x 轴，不是 y 轴。

  • 导函数为 0
  • 比附近的值都要大
  • 左边递增右边递减

3.3 最值

最大值，要么是极大值，要么是端点。

4. 参考资料